CN Lecture Note

Design

This template is for course handouts, note series and long derivations in Chinese. It sits between a one-page card and a full book:

Numbered by lecture: pages, equations and sections can all be numbered per lecture, which suits notes that are updated over time.
One header panel: course, term, lecture number, subtitle and author sit together in a single panel on the first page.
One system of boxes: definition / theorem / proposition / remark are all wrapped in tcolorbox, and Analysis / Remark / Summary / Example share the same box style.
Built for Chinese technical writing: XeLaTeX / LuaLaTeX + ctex by default, with font fallbacks so it compiles on another machine.

Requirements

Compiler: XeLaTeX or LuaLaTeX
Packages: ctex, fontspec, tcolorbox, titlesec, fancyhdr, tikz, mathtools, amsthm, cleveref
Recommended fonts:
- English serif: Times New Roman, falling back to TeX Gyre Termes
- Chinese serif: Noto Serif CJK SC, falling back to Fandol

Source files

CN.tex

Usage

The source file is itself a working example that compiles as is:

Replace the course name, lecture number and author in \LectureBanner.
Keep or delete the sample sections.
Write your content inside definition / theorem / AnalysisBox / SummaryBox.

Full source (`CN.tex`)

The sample content inside the file is in Chinese.

\documentclass[11pt]{article}

\usepackage{iftex}
\ifPDFTeX
  \errmessage{Please compile with XeLaTeX or LuaLaTeX}
\fi

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\usetikzlibrary{positioning}
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\usepackage[capitalize,nameinlink]{cleveref}

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\newcommand{\LectureBanner}[6]{%
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    {\small\sffamily\color{ink!72} 主讲：#6 \hfill {\color{brandD}\LectureAffiliation}}
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  \vspace{0.7em}
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\newtheorem{corollary}[theorem]{推论}
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\newtheorem{definition}[theorem]{定义}
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\newtheorem{remark}[theorem]{注}

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\DeclareMathOperator{\diam}{diam}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\ip}[2]{\left\langle #1, #2 \right\rangle}

\begin{document}

\LectureBanner
  {3}
  {凸函数与次梯度}
  {从几何直觉到优化分析}
  {Optimization Notes}
  {2026 Spring}
  {MIStatlE}

\begin{SummaryBox}
这一讲的目标很直接：先把凸集、凸函数与次梯度放到同一张图景里，再解释为什么这些定义并不是“为了证明而发明的符号”，而是优化算法可解释性的基础。
\end{SummaryBox}

\section{凸性首先是一种几何约束}

设 $C \subset \R^d$。若对任意 $x,y \in C$ 与任意 $\lambda \in [0,1]$ 都有
\[
\lambda x + (1-\lambda)y \in C,
\]
则称 $C$ 为凸集。它表达的是一条很朴素的要求：点与点之间的连线不应离开可行区域。

\begin{definition}[仿射组合]
给定向量族 $x_1,\dots,x_m$，若系数满足 $\sum_{i=1}^m \alpha_i = 1$，则
\[
\sum_{i=1}^m \alpha_i x_i
\]
称为这些向量的仿射组合。
\end{definition}

\begin{AnalysisBox}
把“仿射”与“凸”分开看很重要。仿射只要求系数和为 $1$，允许负系数；凸组合则进一步要求系数非负。很多几何直觉的真正分界点就在这里。
\end{AnalysisBox}

\subsection{从集合到函数}

函数 $f:C\to \R$ 的凸性要求
\[
f(\lambda x+(1-\lambda)y) \le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y), \qquad \lambda\in[0,1].
\]
换句话说，函数图像永远不高于两点连线所定义的“弦”。这一性质把最优化问题从“可能有很多局部陷阱”变成“局部信息可以指导全局”的结构问题。

\begin{proposition}[一阶判别]
若 $f$ 可微，则 $f$ 在凸集 $C$ 上凸，当且仅当对任意 $x,y\in C$ 有
\[
f(y)\ge f(x) + \ip{\nabla f(x)}{y-x}.
\]
\end{proposition}

\begin{proof}
一方面，令 $g(t)=f(x+t(y-x))$，由一维凸函数的切线下界即可得到上式。另一方面，将该不等式作用于线段上的点，可以反推出弦不等式，因此与凸性等价。
\end{proof}

\section{次梯度把不可微点重新接回理论}

很多真正有用的目标函数在关键处并不可微，例如 $\ell_1$ 正则项、支持函数与某些 max 结构。因此仅靠梯度无法覆盖完整的凸分析。

\begin{definition}[次梯度]
设 $f:C\to \R$ 为凸函数。若向量 $g\in \R^d$ 满足
\[
f(y)\ge f(x)+\ip{g}{y-x}, \qquad \forall y\in C,
\]
则称 $g$ 是 $f$ 在 $x$ 处的一个次梯度，所有次梯度组成的集合记为 $\partial f(x)$。
\end{definition}

\begin{ExampleBox}
对 $f(x)=|x|$，当 $x\neq 0$ 时只有一个次梯度，即 $\mathrm{sign}(x)$；而在 $x=0$ 时，
\[
\partial f(0)=[-1,1].
\]
这正是“不可微点不是断裂，而是一整簇合法切线”的最直观例子。
\end{ExampleBox}

\begin{theorem}[最优性条件]
设 $f$ 为凸函数，则点 $x^\star$ 是全局极小点，当且仅当
\[
0\in \partial f(x^\star).
\]
\end{theorem}

\begin{AnalysisBox}
这条结论的意义不只是“方便判别最优解”。它告诉我们：在凸问题里，最优性其实就是“存在一条水平支撑超平面”。几何语言和优化语言在这里完全重合。
\end{AnalysisBox}

\section{算法视角：为什么这套结构会影响更新规则}

如果目标函数光滑，我们可以沿着负梯度方向更新；如果目标函数只有凸性而没有可微性，我们就转向次梯度法。此时收敛速度变慢，但问题的几何结构仍然允许我们得到全局控制。

\begin{lemma}[次梯度一步估计]
令 $x_{t+1}=x_t-\eta_t g_t$，其中 $g_t\in \partial f(x_t)$。则对任意比较点 $x^\star$ 都有
\[
\|x_{t+1}-x^\star\|_2^2
\le
\|x_t-x^\star\|_2^2
-2\eta_t\bigl(f(x_t)-f(x^\star)\bigr)
+\eta_t^2\|g_t\|_2^2.
\]
\end{lemma}

\begin{proof}
展开平方并使用次梯度不等式即可：
\[
\|x_t-\eta_t g_t-x^\star\|_2^2
= \|x_t-x^\star\|_2^2 - 2\eta_t\ip{g_t}{x_t-x^\star} + \eta_t^2\|g_t\|_2^2.
\]
再由 $f(x_t)-f(x^\star)\le \ip{g_t}{x_t-x^\star}$ 得证。
\end{proof}

\begin{RemarkBox}
很多初学者会把“不可微”理解成“无法分析”。实际上，在凸问题里，真正重要的不是导数是否唯一，而是能否找到一个稳定的局部线性下界。
\end{RemarkBox}

\section{一页总结}

\begin{itemize}
  \item 凸集保证可行域几何足够稳定。
  \item 凸函数保证局部一阶信息可以指向全局结构。
  \item 次梯度把不可微点重新纳入统一框架。
  \item 许多优化算法的收敛分析，本质上都在重复使用“切线下界 + 平方展开”这两个动作。
\end{itemize}

\end{document}

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